Geometrisk argument for at de retningsafledede kan udregnes med et prikprodukt

Her på siden vil vi give et geometrisk argument for, at de retningsafledede kan skrives som et prikprodukt:

\[ D_{\vec{u}}f\left( x_{0},y_{0} \right) = \nabla f(x_{0},y_{0}) \cdot \vec{u} \] Vi antager her, at alle snitfunktioner er differentiable således, at alle de retningsafledede eksisterer.

Alle planer gennem \(P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\), som er parallelle med \(z\)-aksen, har retningsvektorer \[\vec k = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \qquad \textrm{og} \qquad \vec u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\]

Dette er illustreret i figur 1, hvor man ved at trække i skyderen kan ændre på den retning, \(\vec u\) peger i.

Figur 1: Plan parallel med \(z\)-aksen med retningsvektor \(\vec k\) og \(\vec u\).

Det er disse planer, vi snitter grafen for \(f\) med. Et eksempel er vist i figur 2. Ved at trække i skyderen kan man igen ændre på planen, som er parallel med \(z\)-aksen.

Figur 2: Grafen for en funktion \(f\) (grøn) sammen med en plan gennem \(P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) som er parallelle med \(z\)-aksen (blå). Snitkurven mellem grafen og planen er markeret med sort.

Hældningen for tangenten til snitkurven svarer netop til den retningsafledede \(D_{\vec{u}}f ( x_{0},y_{0} )\). Vi sørger nu for at vælge \(\vec u\), så denne vektor har længde \(1\). Så har snitkurven i \(P\) tangentvektor

\[ \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ D_{\vec{u}}f ( x_{0},y_{0} ) \\ \end{pmatrix}. \]

Nu er det sådan at hvis tangenterne til alle snitkurverne ligger i en plan, så kaldes denne plan for tangentplanen. Et eksempel herpå ses i figur 3. Her er det tydeligt, at de indtegnede tangenter alle ligger i den samme plan.

Figur 3: Grafen for en funktion \(f\) (grøn) sammen med forskellige tangenter til snitkurverne i et punkt \(P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\). Den plan, som alle disse tangenter ligger i, kaldes for tangentplanen og er indtegnet med blå.

Denne plan har retningsvektorer \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_x(x_0,y_0) \\ \end{pmatrix} \qquad \textrm{og} \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_y(x_0,y_0) \\ \end{pmatrix}\]

og normalvektoren til planen bliver derfor

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_x(x_0,y_0) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_y(x_0,y_0) \end{pmatrix} \]

Det giver

\[ \begin{aligned} \vec{n}&= \begin{pmatrix} 0 \cdot f_y(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) \cdot 1 \\ f_x(x_0,y_0) \cdot 0 - 1 \cdot f_y(x_0,y_0) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - f_x(x_0,y_0) \\ -f_y(x_0,y_0) \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \] Vi så tidligere, at tangenten til snitkurven i \(P\) har retningsvektor \[ \vec{r}= \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ D_{\vec{u}}f ( x_{0},y_{0} ). \end{pmatrix} \]

Denne retningsvektor ligger per definition i tangentplanen og derfor står den vinkelret på enhver normalvektor. Derfor er

\[ \vec r \cdot \vec n = 0. \]

Det giver \[ \begin{aligned} \vec r \cdot \vec n &= \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ D_{\vec{u}}f ( x_{0},y_{0} ). \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - f_x(x_0,y_0) \\ -f_y(x_0,y_0) \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= - f_x(x_0,y_0) \cdot u_1 -f_y(x_0,y_0) \cdot u_2+D_{\vec{u}}f ( x_{0},y_{0} )=0. \end{aligned} \]

Derfor fås \[ D_{\vec{u}}f ( x_{0},y_{0} ) = f_x(x_0,y_0) \cdot u_1 +f_y(x_0,y_0) \cdot u_2 = \nabla f(x_{0},y_{0}) \cdot \vec{u} \] Nu har vi så, fra dette geometriske argument, at den retningsafledte i retning \(\vec u\) fås som skalarproduktet mellem gradienten og \(\vec u\), hvilket netop var det, vi gerne ville vise.