Argument for at de retningsafledede kan udregnes med et prikprodukt ved hjælp af middelværdisætningen
Vi vil her argumentere for formlen for, at de retningsafledede kan udregnes som et prikprodukt:
ved at bruge middelværdisætningen for funktioner af én variabel:
Sætning 1 (Middelværdisætningen) Hvis
er kontinuert på og differentiabel i , så findes der et tal mellem og , så tangenthældningen i er lig med middelværdien af hældningen på hele intervallet . Det vil sige, at
Resultatet i middelværdisætningen kan omskrives til
som er det, vi får brug for. Middelværdisætningen virker indlysende korrekt, hvis man prøver at tegne situationen, og beviset for middelværdisætningen kan findes i flere gymnasiebøger.
Inden vi går til argumentet for formlen for de retningsafledede, vil vi se på et enkelt eksempel med middelværdisætningen.
Eksempel 1 Funktionen
Der findes så et tal
Vi ved, at
Tangenthældningen af grafen for
På figur 1 illustreres dette princip.

Middelværdisætningen siger altså bare, at hvis man forbinder start og slutpunktet – den blå linje – og udregner dens hældning, så kan man altid finde mindst et punkt i det indre af intervallet, hvor tangenten i punktet – den grønne linje – har samme hældning. I eksemplet fandt vi et bestemt
Vi vender nu tilbage til definitionen af de retningsafledede. Vi får i det følgende brug for at antage, at både
Vi husker på, at de retningsafledede var defineret ved
Vi omskriver nu tælleren i (2) for at kunne bringe middelværdisætningen i spil
Vi ser nu, at de to første led kun afviger på
Afvigelsen på henholdsvis

Ved at bruge den omskrevne middelværdisætning i (1) på de to snitfunktioner
Her har vi brugt, at den afledede af en snitfunktion, hvor vi kun varierer
Indsætter vi de to udtryk ovenfor på højreside i (3) får vi
Og bruges dette i definitionen for den retningsafledede i (2) ender vi med
Husk på, at
Vi startede med at antage, at de partielle afledede er kontinuerte. Det får vi brug for nu. Det betyder nemlig, at grænseværdien i (4) eksisterer, og vi får det ønskede resultat
1 Vi startede med at antage, at de partielle afledede eksisterer og er kontinuerte på en omegn. Bemærk, at vi ud fra den antagelse nu har vist, at alle de retningsafledede også vil eksistere.