Kontinuitet for funktioner af to variable
Vi har lige påstået, at en funktion \(f\) af to variable siges at være kontinuert i \((x_0,y_0)\), hvis følgende gælder
\[ \lim_{(x,y) \rightarrow (x_{0},y_{0})}{f\left( x,y \right) = f(x_{0},y_{0})} \]
Men der er faktisk grund til at dvæle lidt ved denne definition, for hvad vil det overhovedet sige, at \((x,y) \rightarrow (x_{0},y_{0})\)? Forestil dig at du har været i byen, og at \((x_0,y_0)\) er dit hjem. Så kan man jo gå hjem på rigtig mange måder. Det kan være, at man går langs en ret linje, det kan være, at man går i zig-zag hjem eller noget helt tredje. Ovenstående definition på kontinuitet giver kun mening, hvis \(f(x,y)\) nærmer sig \(f(x_0,y_0)\) uanset på hvilken måde \((x,y)\) nærmer sig \((x_0,y_0)\).
Vi skal nu se på et eksempel, hvor en funktion \(f\) ikke er kontinuert i \((0,0)\), fordi man kan “gå hjem” på nogle måder, så \(f(x,y)\) ikke altid nærmer sig \(f(0,0)\)! Det kan godt være lidt svært at forestille sig, men her kommer eksemplet.
Skiferien
Vi forestiller os, at grafen for funktionen \(f(x,y)\) beskriver et landskab. Står vi på en flad mark er \(f(x,y)\) bare \(0\) for alle værdier af \((x,y)\), og det er jo ærlig talt lidt kedeligt. Men nu er din klasse taget på skiferie i et spændende land, hvor skibakkerne kan beskrives som grafen for funktionen \(f\) med følgende forskrift:
\[ f(x,y)= \begin{cases} \frac{y \cdot x^2}{y^2+x^4} \quad \textrm{hvis } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 \quad \textrm{hvis } (x,y) = (0,0) \end{cases} \] Jeres hotel ligger i origo – det vil sige i punktet \((0,0,0)\). I kan se skibakken i app’en herunder.
I skal nu i gang med at undersøge, om denne funktion er kontinuert i \((0,0)\). I gør det ved at stille jer forskellige steder på skibakken og gå af forskellige ruter hjem. De fleste af jer går langs rette linjer (i \(xy\)-planen) og rapporterer, at funktionen er kontinuert (og faktisk også differentiabel) i \((0,0)\). I kan se nogle af de forskellige ruter herunder:
Nu er der et par elever, der rapporterer, at de kom vandrende ind mod origo på grafen og hele tiden var i højde \(1/2\) lige indtil, de faldt i et hul, da de nåede origo. Hvis det er rigtigt betyder det, at funktionen ikke er kontinuert i origo. De elever, der faldt i et hul, er kendt for ikke at gå den lige vej hjem. Denne gang afslører de, at de gik på grafen, mens de i \(xy\)-planen fulgte parablen med ligning \(y=x^2\). Du kan se disse elevers rute i app’en herunder.
Men kan alle eleverne mon have ret? Vi prøver at regne på det.
I de tre foregående opgaver skulle du gerne komme frem til at \(f(x,y) \rightarrow f(0,0)=0\), når \((x,y) \rightarrow (0,0)\), så længe vi går langs rette linjer. Vi skal nu undersøge, hvad der sker, hvis vi går langs parabler.
Hvis du har regnet rigtigt i ovenstående opgave, så har du fået, at
\[ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{f\left( x,y \right)} = 1/2 \]
når \((x,y) \rightarrow (0,0)\) langs parablen med ligning \(y=x^2\). Da \(f(0,0)=0\) har vi altså fundet en måde at nærme os \((0,0)\) så
\[ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{f\left( x,y \right) \neq f(0,0)} \]
og derfor er \(f\) ikke kontinuert i \((0,0)\), selvom det i første omgang så sådan ud (da vi gik langs rette linjer)!
For sjov skyld kan vi jo prøve at undersøge, om det gælder langs alle parabler.
Hvis du har regnes rigtig i ovenstående, har du fået, at \[ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{f\left( x,y \right)} = \frac{a}{a^2+1} \neq 0 \] når \(a \neq 0\). Igen har vi altså set, at\(f\) ikke kontinuert i \((0,0)\).