Funktionen hyperbolsk tangens, \(\tanh\), har forskrift \[ \tanh(x) = \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \]

Grafen for hyperbolsk tangens er vist i figur 1.

Figur 1: Grafen for hyperbolsk tangens.

Ifølge figuren ser det ud til, at \(Vm(f)=(-1,1)\). Det argumenterer vi nærmere for i boksen herunder.

Argument for værdimængden for \(\tanh\)

Vi starter med at vise, at

\[ -1 < \tanh(x) < 1. \] Da \[ - \mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x} <\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x} < \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} \] og \(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}>0\) vil

\[ -1 = \frac{- \mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} < \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} < \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} = 1. \] Altså er \(-1 < \tanh(x)<1\). Vi mangler kun at argumentere for, at værdimængden for \(\tanh\) "fylder" hele intervallet \((-1,1)\) ud.

På figuren herunder ses grafen for den voksende eksponentialfunktion \(\mathrm{e}^x\) (blå) og for den aftagende eksponentialfunktion \(\mathrm{e}^{-x}\) (grøn).

Her ses det, at for store positive værdier af \(x\) er \(\mathrm{e}^{-x} \approx 0\). Det vil sige, at for store positive værdier af \(x\) er

\[ \tanh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \approx \frac{\mathrm{e}^x-0}{\mathrm{e}^x+0}=\frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}=1. \]

Omvendt gælder for store negative værdier af \(x\) er \(\mathrm{e}^x \approx 0\). Det vil sige, at for store negative værdier af \(x\) er

\[ \tanh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \approx \frac{0-\mathrm{e}^{-x}}{0+\mathrm{e}^{-x}}=\frac{-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}}=-1. \] Det betyder, at \[ \tanh(x) \rightarrow 1 \quad \textrm{når} \quad x \rightarrow \infty \] og

\[ \tanh(x) \rightarrow -1 \quad \textrm{når} \quad x \rightarrow - \infty \] hvilket stemmer fint overens med figur 1. Man siger for øvrigt, at linjerne med ligning \(y=-1\) og \(y=1\) er vandrette asymptoter.

Altså har vi vist, at \[ Vm(\tanh)=(-1,1). \]

I nedenstående opgave skal vi vise, at \(\tanh\) differentieret er

\[ \tanh'(x)=1-\left ( \tanh(x) \right )^2. \]

For at bevise det, er det nemmeste at bruge kvotientreglen for differentiation. Måske har du hørt om den – måske har du ikke. Men her kommer den:

Kvotientreglen for differentiation

\[ \left ( \frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}, \quad g(x) \neq 0 \]

Opgave 5: Differentiation af tanh-funktionen og omskrivning

Vis, at tangens hyperbolsk \[ \tanh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \] differentieret er \[ \tanh'(x)=1-\left ( \tanh(x) \right )^2. \]

Hints til opgave 5

• Brug kvotientreglen for differentiation til at vise, at \[ \tanh'(x)= 1 - \left (\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \right)^2 \] Hint! På et tidspunkt får du brug for brøkregnereglen \(\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\).

• Brug definitionen af tangens hyperbolsk til at indse at \[ \tanh'(x)=1-\left ( \tanh(x) \right )^2. \]