Vi starter med at vise, at
\[
-1 < \tanh(x) < 1.
\] Da \[
- \mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x} <\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x} < \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}
\] og \(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}>0\) vil
\[
-1 = \frac{- \mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} < \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} < \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} = 1.
\] Altså er \(-1 < \tanh(x)<1\). Vi mangler kun at argumentere for, at værdimængden for \(\tanh\) "fylder" hele intervallet \((-1,1)\) ud.
På figuren herunder ses grafen for den voksende eksponentialfunktion \(\mathrm{e}^x\) (blå) og for den aftagende eksponentialfunktion \(\mathrm{e}^{-x}\) (grøn).
Her ses det, at for store positive værdier af \(x\) er \(\mathrm{e}^{-x} \approx 0\). Det vil sige, at for store positive værdier af \(x\) er
\[
\tanh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \approx \frac{\mathrm{e}^x-0}{\mathrm{e}^x+0}=\frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}=1.
\]
Omvendt gælder for store negative værdier af \(x\) er \(\mathrm{e}^x \approx 0\). Det vil sige, at for store negative værdier af \(x\) er
\[
\tanh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \approx \frac{0-\mathrm{e}^{-x}}{0+\mathrm{e}^{-x}}=\frac{-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}}=-1.
\] Det betyder, at \[
\tanh(x) \rightarrow 1 \quad \textrm{når} \quad x \rightarrow \infty
\] og
\[
\tanh(x) \rightarrow -1 \quad \textrm{når} \quad x \rightarrow - \infty
\] hvilket stemmer fint overens med figur 1. Man siger for øvrigt, at linjerne med ligning \(y=-1\) og \(y=1\) er vandrette asymptoter.
Altså har vi vist, at \[
Vm(\tanh)=(-1,1).
\]