\[
f(x)=\frac{x}{1+|x|}.
\] Husk på at \(|x|\) betyder den numeriske værdi af \(x\). Det vil sige
\[
|x| =
\begin{cases}
x & \textrm{hvis } x \geq 0 \\
-x & \textrm{hvis } x < 0 \\
\end{cases}
\tag{1}\] Det betyder for eksempel at \(|7|=7\) og \(|-7|=7\). Grafen for \(|x|\) ses i figur 1.
Figur 1: Grafen for \(|x|\).
Grafen for softsign-funktionen \(f\) ses i figur 2.
Figur 2: Grafen for softsign-funktionen.
Da den numeriske værdi af \(x\) indgår i forskriften, kunne man få den tanke, at \(f\) måske hverken er kontinuert eller differentiabel i \(0\). For eksempel kan man i figur 1 se, at \(|x|\) ikke er differentiabel i \(0\).
Ud fra denne omskrivning kan man vise, at \(f\) rent faktisk er kontinuert i \(0\). Det kan du læse mere om i boksen herunder, hvis du har lyst.
På figur 2 ser det ud som om, at værdimængden for \(f\) er \((-1,1)\) (også det argumenterer vi for i boksen):
\[
Vm(f) = (-1,1).
\]
Det vil sige, at hvis vi skal bruge softsign-funktionen som aktiveringsfunktion, så skal targetværdierne være \(\pm 1\).
Argument for kontinuitet i \(0\) og værdimængde for \(f\)
Lad os først argumentere for, at \(f\) er kontinuert i \(0\). For det første ser vi, at \(f(0)=0/(1+0)=0\) og \(f(x) \rightarrow 0\), når \(x\) nærmer sig \(0\) både fra højre og venstre. Det betyder, at \(f\)er kontinuert i \(0\).
Vi vil herefter indse, at funktionsværdierne for \(f\) ligger i \((-1,1)\). Ser vi på definitionen i (2), kan vi se, at vi skal inddele i to tilfælde, nemlig \(x \geq 0\) og \(x<0\):
Tilfælde 1
Hvis \(x \geq 0\), så er \[
f(x)= \frac{x}{1+x}.
\] Her er både tæller og nævner positiv, og derfor vil \(-1<0<f(x)\). Da \[
x < 1+x
\] og \(1+x\) er positiv vil \[
f(x)=\frac{x}{1+x}<\frac{1+x}{1+x}=1.
\] Altså er \(-1<f(x)<1\) i det tilfælde, hvor \(x \geq 0\).
Tilfælde 2
Hvis \(x<0\), så er \[
f(x) = \frac{x}{1-x}.
\] Her er tælleren negativ, mens nævneren er positiv. Det vil sige, at \(f(x)<0<1\). Nu er \[
x-1<x<0.
\] Da \(x-1<0\), vil \(-(x-1)>0\), og vi kan derfor dividere ovenstående igennem med \(-(x-1)\) uden at ændre på ulighedstegnet: \[
\frac{x-1}{-(x-1)}<\frac{x}{-(x-1)}.
\] Da venstre side giver \(-1\) og \(-(x-1)=1-x\) får vi \[
-1 < \frac{x}{1-x}=f(x).
\] Alt i alt har vi altså også i dette tilfælde vist, at \[
-1 < f(x) < 1.
\]
Det vil sige, at \(Vm(f) \subseteq (-1,1)\).
Vi vil nu vise, at værdimængden for \(f\) "fylder" hele intervallet \((-1,1)\) ud. Vi ser, at for store positive værdier af \(x\) vil \[
f(x)= \frac{x}{1+x} \approx \frac{x}{x}=1
\] og for store negative værdier af \(x\) vil \[
f(x)= \frac{x}{1-x} \approx \frac{x}{-x}=-1
\] Det betyder, at \[
f(x) \rightarrow 1 \quad \textrm{når} \quad x \rightarrow \infty
\] og
\[
f(x) \rightarrow -1 \quad \textrm{når} \quad x \rightarrow - \infty
\] hvilket stemmer fint overens med figur 2.
og at den afledte kan findes ved hjælp af funktionsværdien selv på denne måde
\[
f'(x)=(1-|f(x)|)^2.
\tag{4}\]
Opgave 3: Differentiation af softsign-funktionen
Vis, at \[
f'(x)=\frac{1}{\left ( 1+ |x| \right )^2}
\] ved at bruge en brøkregneregel til at omskrive funktionsudtrykket i (2):
\[
f(x) =
\begin{cases}
x \cdot \frac{1}{1+x} & \textrm{hvis } x \geq 0 \\
\\
x \cdot \frac{1}{1-x} & \textrm{hvis } x < 0 \\
\end{cases}
\tag{5}\]
Tegn til sidst grafen for \(f'\). Synes du, at det ser ud som om, at \(f'\) er differentiabel?
Hints til opgave 3
Antag først, at \(x > 0\) og vis ved hjælp af produktreglen for differentiation, at \[
f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+|x|)^2}.
\tag{6}\]OBS! Du får på et tidspunkt brug for at sætte på fælles brøkstreg – fællesnævneren er her \((1+x)^2\).
Antag nu, at \(x<0\) og vis igen ved hjælp af produktreglen for differentiation at \[
f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1+|x|)^2}.
\tag{7}\]
Antag slutteligt, at \(x=0\) og indsæt \(x=0\) i både (6) og (7) og se, at du får det samme. Da \(f'(0)\) giver det samme for de to grene af funktionen, siger man, at funktionen også er differentiabel i \(x=0\).
Opgave 4: Omskrivning af \(f'(x)\) for softsign-funktionen
Vis nu, at den afledede af softsign-funktionen kan udtrykkes ved hjælp af softsign-funktionen selv: \[
f'(x)=(1-|f(x)|)^2.
\]
Hints til opgave 4
Start med at overvise dig selv om, at \[
|f(x)|=f(|x|)
\] ved at bruge definitionen i (1).
Vis at \[
(1-f(|x|))^2 = \frac{1}{(1+|x|)^2}=f'(x)
\]Hint! Skriv \(1\) som \(\frac{1+|x|}{1+|x|}\).
