Facit til forløbet "Virker medicinen?"

Facit – opgave 1

Facit – opgave 2

Det kan for eksempel se sådan her ud:

Facit – opgave 3

Vent med at kontrollere dit resultat til opgave 7.

Facit – opgave 5

Facit – opgave 6

Punktet \((x_1,x_2)=(1,3)\) giver ved indsættelse i linjens ligning:

\[ -1-2\cdot3+5=-2<0 \] Punktet ligger altså på den modsatte side af linjen, som normalvektoren peger ind i (det blå område på figuren ovenfor), hvor vi ikke forventer, at medicinen har effekt.

Facit – opgave 7

Excel giver

\[ \begin{aligned} a &= -0.44721 \\ b &= -0.89443 \\ c &= 2.236066 \\ M &= 0.447213 \end{aligned} \]

Hvis værdierne ganges med \(\sqrt{5}\) fås linjen med ligning

\[ -x-2y+5=0 \]

Facit – opgave 8

Problemløseren kan ikke finde en løsning, fordi punkterne ikke kan adskilles ved hjælp af en ret linje.

Facit – opgave 9

Observation	\(x_1\)	\(x_2\)	\(t\)	Afstand	\(\varepsilon_i\)
1	\(1\)	\(2.5\)	\(1\)	\(1.5\)	\(0\)
2	\(-1\)	\(0.3\)	\(-1\)	\(0.7\)	\(0.3\)
3	\(3\)	\(0\)	\(-1\)	\(1\)	\(0\)
4	\(1.5\)	\(-0.4\)	\(-1\)	\(1.4\)	\(0\)
5	\(1.8\)	\(0.7\)	\(1\)	\(0.3\)	\(1.3\)
6	\(-0.5\)	\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)
7	\(2.5\)	\(3\)	\(1\)	\(2\)	\(0\)

Resultatet er illustreret på figuren her:

Facit – opgave 10

Måling \((x_1,x_2,x_3)=(1,3,0)\):

\[ 2x_1 + x_2 - x_3+1 = 6 > 0 \]

Altså forventer vi en effekt.
Måling \((x_1,x_2,x_3)=(2,0,3)\):

\[ 2x_1 + x_2 - x_3+1 = 2 > 0 \]

Altså forventer vi en effekt.
Afstand til planen:

Måling \((x_1,x_2,x_3)=(1,3,0)\): Afstanden er \(3\).

Måling \((x_1,x_2,x_3)=(2,0,3)\): Afstanden er \(1\).

Den første måling på \((x_1,x_2,x_3)=(1,3,0)\) har den største afstand til skillelinje. Derfor er vi mest sikker på denne klassifikation.

Facit – opgave 11

Excel giver

\[ \begin{aligned} a &= -0.57735 \\ b &= 0.57735 \\ c &= 0.57735 \\ d &= 0 \\ M &= 0.866026 \end{aligned} \]

Facit – opgave 12

Når punktet \((x_1,x_2,x_1^2 + x_2^2)\) indsættes i planens ligning fås

\[ x_1^2+x_2^2=4 \]

Det er ligningen for en cirkel i planen med centrum i origo \((0,0)\) og med radius \(r=\sqrt{4}=2\).
Punkter \((x_1,x_2,x_1^2 + x_2^2)\), som opfylder, at \(x_3-4>0\) klassificeres som hørende til klasse \(1\). Det svarer til, at

\[ x_1^2+x_2^2>4 \]

Altså punkter, som ligger uden for cirklen i planen. Omvendt hvis \(x_1^2+x_2^2<4\), ligger punktet inden i cirklen og bliver klassificeret som hørende til klasse \(-1\).

Facit – opgave 13

Excel giver

\[ \begin{aligned} a &= 0.57735 \\ b &= 0.57735 \\ c &= -0.57735 \\ d &= 0 \\ M &= 0.433013 \end{aligned} \]

Ligningen for parablen er

\[ x_2 = x_1^2-x_1 \]

Resultatet er illustreret her: