I app’en herunder ser du grafen for \(f(x)=\frac{1}{1+e^{-(ax+b)}}\). Hvis du trækker i skyderne for \(a\) og \(b\), kan du se, hvordan kurven ændrer form. Den stiplede linje har ligning \(x=\frac{-b}{a}\) og svarer altså til den vandrette forskydning af grafen for den standard logistiske funktion. På figuren er der desuden 9 punkter, som du kan få grafen til at passe bedst muligt med.
Eksperimenter med \(a\) og \(b\) for at forstå deres betydning for grafen.
Figur 1: Eksperimenter med a og b for at forstå deres betydning for grafen. Når du har klikket på en skyder med musen, kan værdien også ændres med piletasterne, hvilket kan ske mere præcist.
Aktivitet 3
Lav nedenstående opgave.
Opgave 1
I et (fiktivt) dataeksempel ser vi på sandsynligheden \(p(x)\) for, at en kunde i et supermarked vælger at købe den økologiske mælk frem for den konventionelle som funktion af kundens årlige indtægt \(x\) (i 100.000 kr). Vi kommer frem til følgende logistiske regressionsmodel \[
\text{logit}(p(x))= -1.3+0.5x.
\]
Hvor mange procent stiger odds for at vælge økologisk, når årsindtægten stiger med 100.000 kr (\(x\) vokser med 1)?
Tegn grafen for \(p(x)\).
Indse ved hjælp af figur 1, at grafen for den generelle logistiske funktion med forskrift \[
f(x)=\frac{1}{1+e^{-(ax+b)}}
\] er stejlest, når funktionsværdien er \(f(x)=1/2\).
Hvilken værdi af \(x\) svarer til en funktionsværdi på \(1/2\) (isoler \(x\) udtrykt ved hjælp af \(a\) og \(b\))?
Hint til sidste spørgsmål: Start med at overveje, hvilken værdi \(e^{-a\cdot x+b}\) skal have, og derefter hvilken værdi \(a\cdot x+b\) skal have, og til sidst \(x\).